数学小笔记
内容纲要

名词

基础数学

cartesian coordinates: 直角坐标系
polar coordinates: 极坐标系

identity:恒等式、单位元
zeros/roots of polonomial: 多项式的实数根/方程为零时的实数解/曲线与x轴的交点。
asymptote:渐近线
directrix: 抛物线中的准线
tangent line:切线
normal line:法线
transverse axis:双曲线中的贯穿轴/长度为2a的实轴线段
conjugate axis:双曲线中过中心与贯彻轴垂直的共轭轴,即长度为2b虚轴线段。
geometric series: 几何级数(等比数列和)
arithmetic series: 代数级数(等差数列和)

secant line:割线
tangent line:切线
numerator:分子
denominator:分母

-nought: 在下角标中出现的“0”,通常读作“nought”。比如$N_0$ 读成“n-nought”。 【read more】

微积分

critical points: 临界点
inflection points: 反曲点,拐点
concavity:函数的凹性
concave upwards: 凹面朝上的(cup shape, 斜率值趋大的)
concave downwards: 凹面朝下的(cap shape, 斜率值趋小的)
derivative: 导数
differentiation:微分
definite / indefinite integral:定积分/不定积分
ODE - Ordinary Differential Equation:常微分方程
PDE - Partial Differential Equation:偏微分方程
Homogeneous Equation:齐次方程
Non-Homogeneous Equation:非齐次方程

概率与数理统计

Venn diagram:韦恩图
tree diagram:树形图
histogram(bar chart):矩形图,柱图
mutually exclusive events: 互斥事件(不同时发生、交集为空)
sample space:样本空间
discrete random variable:离散型随机变量
binomial distribution:二项分布

线性代数

component:the horizontal and vertical parts of a vector, 向量的“成分”,即($\Delta{x},\Delta{y}$)(物理中的“分力”)
magnitude:向量的“模”

determinant:行列式
matrix elemnt/entry: 矩阵元素
adjoint matrix:伴随矩阵
cofactor:代数余子式


一些模糊的概念

中文里常说的“模”,有时候是指“绝对值”,有时候是指除法中的“取模”,这个词对应英文中的modulus,mod本身就是有这两类含义,我们大概是直接取用这个词,中文翻译看起来有点像音译。
同样是表达“绝对值”,有些场景下则是用magnitude。在复平面中,复数的绝对值(复平面上某点到原点的距离)有时候说modulus,有时候说magnitude。它们各自当然都有自己的含义,但是在不少数学语境中,可能表达了基本一致的意思:absolute value。

Modulus

(只关注数学含义)
1.在数学中,它是another term for absolute value. 这就很直接了,意思就是“绝对值”的另一个说法,可翻译成模、模数;
而这个absolute value的含义,在韦伯辞典中有很详细的解释:

1: a nonnegative number equal in numerical value to a given real number
2: the positive square root of the sum of the squares of the real and imaginary parts of a complex number

一个实数的绝对值就是我们一般意义上的纯数值量;一个复数的绝对值,则是其实部与虚部的平方和的正平方根,这本来就是复数的绝对值计算方法,在复平面上,它的几何含义就是某一点到原点的“距离”。

2.另一个数学含义则是与除法中的求模/求余运算相关(二者在编程语言中有差异,在基础除法运算中可看作一回事,本文暂且不探究了),虽然都叫模,此模非彼模。“模”这个字恐怕都是mod音译过来的吧?字典中的表述是:

a number used as a divisor for considering numbers in sets, numbers being considered congruent when giving the same remainder when divided by a particular modulus.

除法中,被除数除以除数,得到商+余数。如果我们只关注余数,可以进行求模运算,A mod B=R,(求模运算符modulo operator, 简称mod。在很多编程语言中都是用%表示),这一运算可表达为A modulo B equal to R, B就是modulus模数,也就是求模运算中的那个除数。

Magnitude

这个词最主要的含义总是跟“巨大、广大”有关,但它并非形容词,而是表达巨大的程度,因此它实际上总是用来表达size,即广大、广阔的具体程度、尺寸。引申开来,用它来表达空间中一个向量的绝对值(数量值)似乎就很容易接受了。
根据韦伯辞典,基本含义:

great size or extent; spatial quality(size, quatity, number)great size or extent; spatial quality(size, quatity, number)

另一类含义(还有很多其他条目,略过):

a numerical quantitative measure expressed usually as a multiple of a standard unit

这一条基本就解释了类似向量的模的概念。
虽然在magnitude的词条中没有直接提出“absolute value”这一解释,但从其自身含义来看,它表达了某种纯量,非常符合表达向量绝对值。相比之下,modulus在表达绝对值这一含义时,更像是absolute value这一说法的习惯性替代。

如果以后有了新的解释或想法,我再来更新。


方便计算的小函数

为了加快计算效率,用Python写了一些简单的函数,基本就是套用公式,只是为了减少繁琐的手算。需要时直接copy。这些函数仅使用了标准库math, 并省略了import math这行代码。

基础代数/几何常用计算

角度与弧度的互换:

#randian & angle converting
def rad(angle):
    return (angle/180)*math.pi

def deg(rad):
    return (rad/math.pi)*180

等比数列和等差数列求和:

#geometric series,等比数列求和
def geoSer(a,r,n):
    """ a: initial term, i.e. a1
        r: common ratio
        n: number of the terms of the series
        求和公式:Sn=a1*(1-q^n)/(1-q) """
    return (a*(1-r**n))/(1-r)
def ariSer(a,d,n):
    """ a: initial term, i.e. a1
        d: common difference
        n: number of the terms of the series
        求和公式:Sn=n(2a+(n-1)d)/2 """
    return n*(a*2+(n-1)*d)/2

计算任意一个对数$\log_{a}{N}$,基于换底公式:

#求任意log,N=a^x,x=log_a(N)
def loglog(a,N):
    """ change base rule
        x: base, the lower number;
        y: product, upper number. """
    return math.log(N)/math.log(a)

二元方程求解,基于quadratic formula:

#二次方程求解公式中根号的部分,即开方结果
def quad_sqrt(a,b,c):
    """ a,b,c: coeffients in the standard form."""
    return math.sqrt(b**2-4*a*c)

#二次方程的两个解
def quad(a,b,c):
    """ a,b,c: coeffients in the standard form."""
    return (-b+math.sqrt(b**2-4*a*c))/2*a,(-b-math.sqrt(b**2-4*a*c))/2*a

阶乘的计算,这大概是最典型的一个递归函数了:

#递归函数——阶乘
def factorial(n):
    if n==1 or n==0:
        return 1
    else:
        return n*factorial(n-1)
暂无评论

发送评论 编辑评论


				
|´・ω・)ノ
ヾ(≧∇≦*)ゝ
(☆ω☆)
(╯‵□′)╯︵┴─┴
 ̄﹃ ̄
(/ω\)
∠( ᐛ 」∠)_
(๑•̀ㅁ•́ฅ)
→_→
୧(๑•̀⌄•́๑)૭
٩(ˊᗜˋ*)و
(ノ°ο°)ノ
(´இ皿இ`)
⌇●﹏●⌇
(ฅ´ω`ฅ)
(╯°A°)╯︵○○○
φ( ̄∇ ̄o)
ヾ(´・ ・`。)ノ"
( ง ᵒ̌皿ᵒ̌)ง⁼³₌₃
(ó﹏ò。)
Σ(っ °Д °;)っ
( ,,´・ω・)ノ"(´っω・`。)
╮(╯▽╰)╭
o(*////▽////*)q
>﹏<
( ๑´•ω•) "(ㆆᴗㆆ)
😂
😀
😅
😊
🙂
🙃
😌
😍
😘
😜
😝
😏
😒
🙄
😳
😡
😔
😫
😱
😭
💩
👻
🙌
🖕
👍
👫
👬
👭
🌚
🌝
🙈
💊
😶
🙏
🍦
🍉
😣
Source: github.com/k4yt3x/flowerhd
颜文字
Emoji
小恐龙
花!
上一篇
下一篇