Abstract :sun_with_face:

This discussion provides a structured summary and mathematical context for understanding binary two's complement (Two's complement), which is essential for representing negative numbers in binary systems. The underlying logic is rooted in implementing complex subtraction using simplified addition, mirroring decimal complement calculation.

Highlights of the Discussion :sun_with_face:

The discussion covers the following key concepts and findings regarding binary two's complement:

Foundational Principles

• Necessity of Two's Complement: Binary itself cannot represent negative numbers, necessitating methods like the use of a sign bit.
• Premises for Discussion: When discussing a binary number, it must be established whether it is signed or unsigned.
• Fixed Length and Overflow: The digital system must adhere to fixed length (e.g., 8-bit). A related default convention is overflow ignore, meaning any carry that extends beyond the fixed length (e.g., the ninth bit in an 8-bit system) is ignored.
• Sign Bit: The Most Significant Bit (MSB) is designated as the sign bit; 0 indicates a positive number, and 1 indicates a negative number.
• Column Weighting: The column weighting (or bit value) is crucial for converting two's complement numbers to decimal. For 8-bit two's complement, the weighting is: -128, 64, 32, 16, 8, 4, 2, 1.

Mathematical Mechanism

• Subtraction as Addition: The core objective of two's complement is to allow subtraction to be performed using the logic of addition only, thereby simplifying system design (like a simple adder circuit) and avoiding the complexity of "borrowing".
• Complement Concept: In decimal, subtracting a number $X$ from $999$ yields $X$'s complement to 9, which is utilized to facilitate subtraction through addition.
• One's Complement (Inverse): In binary, the complement to the maximum value (e.g., 11111111) is called the One's complement. Since binary only uses 0 and 1, the One's complement is equivalent to taking the inverse (flipping 1s and 0s). The One's complement method for negative representation has been largely abandoned due to inherent error risks and the issue of having both +0 and -0 representations.
• Two's Complement Definition: The proper term is Two's complement. It is calculated by taking the one's complement (inversion) and then adding 1.
• Verification of Negative Representation: A positive number added to its two's complement representation (negative counterpart) results in 0, provided the overflow (the carry beyond the fixed length) is ignored.

Range and Application

• Representation Range: Two's complement skillfully distributes the numerical range into positive and negative segments, resulting in no "wasted" bits. An 8-bit two's complement system can represent 256 numbers in the range [-128, +127].
• Digital Audio Significance: Two's complement is used as the machine code (machine representation) for data, including in digital audio devices.
• Handling Amplitudes: It perfectly suits audio signals (wave signals) because it can represent both positive and negative amplitudes.
• Failure Mitigation: A significant advantage in digital audio is that if a device fails and all data bits become 0 (representing 0) or all bits become 1 (representing -1), both failure states result in an output value close to 0, effectively lowering sudden maximum noise.

Original article

讨论补码的前提

  二进制的基本原理不难理解，与十进制之间的互换也可以很快掌握。当数的范围框定在非负整数内时，一切都还岁月静好，但涉及负数的表示方式时就麻烦许多了。二进制本身并不能表示负数，基于二进制的功能，我们也不可能在其前面添加一个负号-，人们研究出了“符号位”的表示方法，这其中涉及到的一系列转换方式，其背后的数学原理是本文试图梳理的内容。我总结了多本书中的二进制补码部分的内容，综合归纳出一个尽量全面的补码知识。

  在几乎所有讲解二进制负数表示方式的书中，都会明确的说到，将最左侧位（即最高位MSB）设置为符号位，0意味着正数，1意味着负数。其余的位则是数值位。单就一个“带符号的二进制数”来说，这个规则很好理解，也使我们能够快速辨识正负数。不过在完整学完补码之前，它都会使我们产生一种错觉：最高位与它身后的一堆数字是分隔开的，不属于数值内容，很自然的，许多人会觉得它也不应该参与运算（它只是个正负号嘛），这显然会为后面的加减法学习带来阻碍。这里，我尝试综合多本书的内容，将补码从方法到原理尽量梳理清楚，但是跳过不必要的探究过程(比如one's complement)。
  首先强调两个既定规则和一个前置条件。前置条件是指，当我们讨论某个二进制数时，必须先明确，它是带符号的还是不带符号的? 有了这个前提条件，我们才知道到底要如何看待这个数。本文讨论的显然是带符号的，也就是最高位是“符号位”(sign bit)。与此同时，这也意味着其数字体系已经在一个重要规则之下了，那就是定长。如果长度不确定或不统一，某一位代表什么符号就毫无实际意义了。本文以一个字节的长度为例(8-bit)。通过阅读多本讲解二进制入门的书，我发现这一点往往没有得到足够的强调，对于初学者来说，可能会在一开始感觉有点不清不楚。从“定长”延伸出来的另一个“默认习惯”是溢出忽略。如8比特位长，当我们进行各种运算时，出现了进位，长度到了第九位，那么“溢出”的部分是忽略掉的。这些都基于第一大规则：定长。第二个需要强调的规则是二进制列权值column weighting，这里主要说转换十进制所用的列权值。列权或者说位权/位值的概念早已不新鲜，几乎所有我们用得上的数字系统都属于“位值计数法”（罗马数字不是），不同“位置”的数字有着不同的单位“值”。对于以最高位MSB作为符号位的二进制补码体系，明确它的column weighting不仅对于转换十进制数值很关键，也是我们作为“十进制生物”理解它们的重要手段。8-bit二进制补码所使用的column weighting是：
 -128   64   32   16   8   4   2   1
这是一个精巧好用的计算表，后面会用到。

从“补数”开始理解

  接下来，进入正题。按照一般顺序，讲解补码，当然是先说原码，然后说反码，再加1获得补码。这一点对于需要读此文的人来说已无需赘述，让我们直接进入对“补”的理解吧。这里借用Charles Petzold的CODE 《编码》这本书第十三章“如何实现减法”的内容。这本书是少有的将补码底层逻辑讲清楚的著作。截至第十二章末，作者带着我们完成了一个用开关电路搭建出来的二进制加法器，接下来就要面对复杂的减法。与加法的“进位”不同，减法需要“借位”，书中的例子：
 $253$
$\underline{-176}$
 ? ? ?
我们都知道如何计算，3小于6，因此向前借一位，变成13-6得7；5被借走一位变成了4，4也小于7，向前借一位，于是14-7得7；2被借走一位，1-1得0，因此最后得到结果77. 但是这一复杂的逻辑，无法使用简易的加法器，一位对应一位的直接求得，“借位”是需要避免的。什么情况下不需要借位呢？—— 被减数每个位上的数都比减数相应位的数大时。在十进制中，最大的数字是9，因此，在这里先用一个999（因为减数是三位数）来减：
 $999$
$\underline{-176}$
 $823$
这种情况就可以简单的在每一个位上直接减，避免了借位。接下来是用得到的结果823加上原来的被减数253得到1076.

  为了提醒自己正在干嘛，先把这一过程的代数变换写下来，同时强调“减法本质上仍然是加法”这一思路。
253-176=(+253)+(-176)=(+253)+(-176)+1000-1000=(+253)+(-176)+999+1-1000=999-176+253+1-1000
等式两边的恒等关系肯定没有疑议，至于为什么要这样，后面就清楚了。别忘了，我们现在正试图解决二进制的负数表示方法的问题，而在探讨补码的逻辑之前，我是在利用《编码》这本书中的简易“加法器”实验，尝试在一个逻辑简单的加法器上实现复杂的减法。用三位数999去减一个任意三位数，可以保证避免借位，之后，把原本的被减数（一个正数）加回来，所得结果1076加1得1077，再减去(我们凭空添加上去的)1000，得最终结果77，结果正确。现在可以引入“补数”的概念了，用999减去176所得的是可称之为176对于9的“补数”，反过来也一样，823对于9的补数就是176. 所以这一“减法”方式简单来说就是先求减数对9的补数，然后把被减数加上，最后就是加1减1000得到结果。但是，如果被减数小于减数，也就是所得结果为负的情况就又有了新的问题。比如176-253，最后一步又会遇到923-1000，不得不借位。这种情况所用的代数过程是“加999减999”。 
 $999$
$\underline{-253}$
 $746$
然后加上被减数:
 $746$
$\underline{+176}$
 $922$
最后一步遇到了“小的减大的”，我们知道实际运算中，仍然是用大的减小的，然后加上负号即可：
 $922$
$\underline{-999}$
$-077$   999减922时仍然避免了借位。

现在，利用类似的思路尝试二进制减法。把253-176变为二进制：
 $11111101$
$\underline{-10110000}$
 ????????

首先还是求补数，8位二进制数的最大值就是11111111，
 $11111111$
$\underline{-10110000}$
 $01001111$

看到这里，是不是一下子想到了“反码”？前面定义了“9的补数”，这里其实就是求出了1的补数。而由于是二进制，除了1就是0，所谓“1的补数”，实际上不需要去计算，只需要把1变为0，把0变为1，这不就是所有书上都会告诉我们的反码(inverse)嘛！有时，它也可称为相反数(negation)。如果不从“反向”的角度去理解，而是顺着刚刚我们运算十进制时求“补数”的思路下来，二进制的“反码”意义似乎清晰了许多。接下来，和前面一样，把被减数加上去：
 $01001111$
$\underline{+11111101}$
 $101001100$

下一步是加1:
   $101001100$
$\underline{+000000001}$
 $101001101$
前面我们给整个式子额外加上了11111111（255），然后又加了1，现在就减去256即100000000: 
 $101001101$
$\underline{-100000000}$
 $001001101$  (这便得到了77)

类似的，求二进制下的176-253: 10110000-11111101，第一步仍然是求减数的“对1的补数”，我们已经知道捷径了，直接取反即可，得到00000010；把这个补数与原被减数相加：
 $00000010$
$\underline{+10110000}$
 $10110010$
这个过程实际上是凭空加上去了一个11111111，既然多加了11111111，现在在结果中减掉它。同前面的差为负的十进制减法一样，小的减大的情况，实际运算还是反过来，最后取其相反数。
 $11111111$
$\underline{-10110010}$
 $01001101$   得到了77，但真正的答案是-77。

 到这里，减法机制并没有彻底说完，不过，对于本文的目标——理解二进制负数表示法已经足够了。《编码》这本书很精彩，提供了精细的思路，我无意在此把书中内容搬运更多。接下来我们可以回到二进制补码的“传统”讲述上了。

 我们都知道补码是什么，或者说补码是“如何算出来的”——取反，然后加1。 求“反码”的过程是个中间步骤，因此有人说，反码是补码与原码之间的一个“桥梁”。不过，补码这个名词有点模糊，甚至省略掉了关键信息。我们现在所说的二进制补码，它的英文原名是Two's complement, 直译就是“2的补数”，这一点非常非常非常关键，如果不理解Two's complement说的是什么，就等于根本没有理解补码的概念。
 求反码被我们视作“中间步骤”，这一步其实原本叫做One's complement。One's complement和Two's complement都是二进制负数表示法，而1的补数，在二进制中等价于取反（这个思考逻辑很重要），所以1的补数其实就是“反码”。而用这种方法来表示负数用很多误差隐患，而且会出现+0和-0的尴尬，已被弃用，具体内容这里略过。另一方法，也就是我们现在都在用的负数表示法，是计算“2的补数”，也就是我们都知道的，先求1的补数，然后再加1，即所谓的Two's complement。

为了验证这种表示法的准确性，我们可以随便选一个正数，然后计算其负数，二者相加如果为0，说明负数表示正确。比如66，其二进制为01000010,这是它的原码，而正数的补码仍然是原码保持不变，现在将其取反然后加1得到10111110，这就是得到了表示负数的补码，-66. 现在将原码和补码相加：
 $01000010$
$\underline{+10111110}$
  $100000000$  超过了8位，溢出忽略得到0.
这说明补码表示正确。

现在可以把补码的column weighting搬出来用了。
 -128   64   32   16   8   4   2   1
现在已知补码10111110，我们可以用这个8-bit的列权值计算它对应的十进制数：
$-128*1+64*0+32*1+16*1+8*1+4*1+2*1+1*0=-66$
可见，结果正确。
由于正数总是0开头，转换正数时，显然根本不会用上最高位的位置-128，而负数总是以1开头，转换负数二进制到十进制时，计算过程总是-128加上其他位的值。这里已经提示了下一个小话题，补码的数字表示范围。

 二进制能够表示的数的范围取决于它的位数，当我们将其最高位用作符号位时，直觉上似乎是“浪费”了一位。比如8bit的二进制，正常来说可以表达0～255共256个数。但是去掉一位后剩下七位，就只能表示128个数了，然而“补码”的设计的精妙之处就在于，它刚好在正负数区间“平分”了取值范围，实际上我们完全没有浪费位数。8bit补码的表示范围在[-128,+127]，刚好也是256个数。

补码对于数字音频设备的意义

 补码就是所谓的机器码，计算机中存放数据使用的都是补码，数字音频设备也同样使用这种二进制系统。补码的特征对于数字音频设备来讲，有突出的优点，这里摘抄一部分《数字音频工作站原理》（录音艺术专业「十二五」规划教材，雷伟 著）中的内容。这是一本相当优质的教材，几乎每个章节的重要知识点都讲解的非常清楚、明白。

• 音频信号这种波动信号，存在正向和负向的振幅，补码因为能够表示正负数，刚好满足了这种需求；

• 数字音频设备出现故障时，由于内部数据均为二进制，可能会出现数据中所有位全变成了1或者0的情况，如果变成了111... 数值达到了最大，这将意味着突发性噪声达到最大。但如果使用补码，全0相当于0，全1则表示-1(用上面的column weighting可以计算)，也就是说两种故障情况，输出值都是接近0的状态，这可以有效降低突发性噪声，减小故障。

 前面在验证负数表示是否正确时，用到了两个正负数相加，检测其结果是否为0的方法。实际上这正是补码的实际意义之一。通过给原有正数加上补码，可以使其原有位数全部变为0，这个过程当然是在高一位产生了1，但二进制体系是“定长”的，溢出的位被忽略（无效），所以我们得到了实际范围内的最小值。 除此之外，还有一个优点，就是本文开头所用的例子，如果只有逻辑简单的加法器，同样可以实现减法，这大大简化了系统的设计。

 以上就是对于二进制补码的知识总结。欢迎专业人士交流、探讨！ :full_moon_with_face: